座標平面上で，放物線 $C\colon y = ax^2 + bx + c$ が $2$ 点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ ， $\mathrm{Q}(-\cos\theta, \sin\theta)$ を通り，点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ のそれぞれにおいて円 $x^2 + y^2 = 1$ と共通の接線を持っている。ただし， $0^\circ < \theta < 90^\circ$ とする。

(1) $a$ ， $b$ ， $c$ を $s = \sin\theta$ を用いて表せ。

(2) 放物線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた図形の面積 $A$ を $s$ を用いて表せ。

(3) $A \geqq \sqrt{3}$ を示せ。