正 n 角形の4頂点を選んでできる四角形が中心を含む確率

$n$ を $5$ 以上の奇数とする。平面上の点 $\mathrm{O}$ を中心とする円をとり，それに内接する正 $n$ 角形を考える。$n$ 個の頂点から異なる $4$ 点を同時に選ぶ。ただし，どの $4$ 点も等確率で選ばれるものとする。選んだ $4$ 点を頂点とする四角形が $\mathrm{O}$ を内部に含む確率 $p_n$ を求めよ。