放物線と絶対値つきの放物線のあいだの領域の面積の最大値

$a$ を実数とする。座標平面において，次の連立不等式の表す領域の面積を $S(a)$ とする。

$$\begin{cases} y \leqq -\dfrac{1}{2}x^2 + 2 \\ y \geqq |x^2 + a| \\ -1 \leqq x \leqq 1 \end{cases}$$

$a$ が $-2 \leqq a < 2$ の範囲を動くとき，$S(a)$ の最大値を求めよ。