角の条件で決まる x 軸上の2点と、2つの三角形の面積の比べ

座標平面上に $2$ 点 $\mathrm{O}(0, 0)$，$\mathrm{A}(0, 1)$ をとる。$x$ 軸上の $2$ 点 $\mathrm{P}(p, 0)$，$\mathrm{Q}(q, 0)$ が，次の条件 (i), (ii) をともに満たすとする。

(i) $0 < p < 1$ かつ $p < q$

(ii) 線分 $\mathrm{AP}$ の中点を $\mathrm{M}$ とするとき，$\angle \mathrm{OAP} = \angle \mathrm{PMQ}$

(1) $q$ を $p$ を用いて表せ。

(2) $q = \dfrac{1}{3}$ となる $p$ の値を求めよ。

(3) $\triangle \mathrm{OAP}$ の面積を $S$，$\triangle \mathrm{PMQ}$ の面積を $T$ とする。$S > T$ となる $p$ の範囲を求めよ。