絶対値を含む定積分で定めた関数の極値と最大・最小

次の関数 $f(x)$ を考える。

$$f(x) = \int_0^1 \frac{|t - x|}{1 + t^2}\,dt \qquad (0 \leqq x \leqq 1)$$

(1) $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{4}$ を満たす実数 $\alpha$ で，$f'(\tan\alpha) = 0$ となるものを求めよ。

(2) (1) で求めた $\alpha$ に対し，$\tan\alpha$ の値を求めよ。

(3) 関数 $f(x)$ の区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における最大値と最小値を求めよ。必要ならば，$0.69 < \log 2 < 0.7$ であることを用いてよい。