4本の直線に関する対称移動をくり返す点の確率

座標平面上を次の規則 (i), (ii) に従って $1$ 秒ごとに動く点 $\mathrm{P}$ を考える。

(i) 最初に，$\mathrm{P}$ は点 $(2, 1)$ にいる。

(ii) ある時刻で $\mathrm{P}$ が点 $(a, b)$ にいるとき，その $1$ 秒後には $\mathrm{P}$ は

• 確率 $\dfrac{1}{3}$ で $x$ 軸に関して $(a, b)$ と対称な点
• 確率 $\dfrac{1}{3}$ で $y$ 軸に関して $(a, b)$ と対称な点
• 確率 $\dfrac{1}{6}$ で直線 $y = x$ に関して $(a, b)$ と対称な点
• 確率 $\dfrac{1}{6}$ で直線 $y = -x$ に関して $(a, b)$ と対称な点

にいる。

以下の問いに答えよ。ただし，(1) については，結論のみを書けばよい。

(1) $\mathrm{P}$ がとりうる点の座標をすべて求めよ。

(2) $n$ を正の整数とする。最初から $n$ 秒後に $\mathrm{P}$ が点 $(2, 1)$ にいる確率と，最初から $n$ 秒後に $\mathrm{P}$ が点 $(-2, -1)$ にいる確率は等しいことを示せ。

(3) $n$ を正の整数とする。最初から $n$ 秒後に $\mathrm{P}$ が点 $(2, 1)$ にいる確率を求めよ。