放物線と接し x 軸上に中心を持つ円が定点を通る個数

$f(x) = -\dfrac{\sqrt{2}}{4}x^2 + 4\sqrt{2}$ とおく。$0 < t < 4$ を満たす実数 $t$ に対し，座標平面上の点 $(t, f(t))$ を通り，この点において放物線 $y = f(x)$ と共通の接線を持ち，$x$ 軸上に中心を持つ円を $C_t$ とする。

(1) 円 $C_t$ の中心の座標を $(c(t), 0)$，半径を $r(t)$ とおく。$c(t)$ と $\{r(t)\}^2$ を $t$ の整式で表せ。

(2) 実数 $a$ は $0 < a < f(3)$ を満たすとする。円 $C_t$ が点 $(3, a)$ を通るような実数 $t$ は $0 < t < 4$ の範囲にいくつあるか。