二等辺三角形の頂点を中心とする3つの円が辺・三角形を含む最小の半径

平面上で $\mathrm{AB} = \mathrm{AC} = 1$ である二等辺三角形 $\mathrm{ABC}$ を考える。正の実数 $r$ に対し，$\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ それぞれを中心とする半径 $r$ の円 $3$ つを合わせた領域を $D_r$ とする。ただし，この問いでは，三角形と円は周とその内部からなるものとする。辺 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}, \mathrm{BC}$ がすべて $D_r$ に含まれるような最小の $r$ を $s$，三角形 $\mathrm{ABC}$ が $D_r$ に含まれるような最小の $r$ を $t$ と表す。

(1) $\angle \mathrm{BAC} = \dfrac{\pi}{3}$ のとき，$s$ と $t$ を求めよ。

(2) $\angle \mathrm{BAC} = \dfrac{2\pi}{3}$ のとき，$s$ と $t$ を求めよ。

(3) $0 < \theta < \pi$ を満たす $\theta$ に対して，$\angle \mathrm{BAC} = \theta$ のとき，$s$ と $t$ を $\theta$ を用いて表せ。