コインで白玉・黒玉を並べ、挟まれた玉の色をとりかえる手順の確率

白玉 $2$ 個が横に並んでいる。投げたとき表と裏のでる確率がそれぞれ $\dfrac{1}{2}$ のコインを用いて，次の手順 $(*)$ をくり返し，白玉または黒玉を横一列に並べていく。

手順 $(*)$　コインを投げ，表がでたら白玉，裏がでたら黒玉を，それまでに並べられている一番右にある玉の右隣におく。そして，新しくおいた玉の色がその $1$ つ左の玉の色と異なり，かつ $2$ つ左の玉の色と一致するときには，新しくおいた玉の $1$ つ左の玉を新しくおいた玉と同じ色の玉にとりかえる。

例えば，手順 $(*)$ を $2$ 回行いコインが裏，表の順にでた場合には，白玉が $4$ つ並ぶ。正の整数 $n$ に対して，手順 $(*)$ を $n$ 回行った時点での $(n + 2)$ 個の玉の並び方を考える。

(1) $n = 3$ のとき，右から $2$ 番目の玉が白玉である確率を求めよ。

(2) $n$ を正の整数とする。右から $2$ 番目の玉が白玉である確率を求めよ。

(3) $n$ を正の整数とする。右から $1$ 番目と $2$ 番目の玉がともに白玉である確率を求めよ。