内分を3段重ねてできる点が描く曲線と、囲む面積・曲線の長さ

座標平面上の点 $\mathrm{A}(0, 0)$, $\mathrm{B}(0, 1)$, $\mathrm{C}(1, 1)$, $\mathrm{D}(1, 0)$ を考える。実数 $0 < t < 1$ に対して，線分 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CD}$ を $t : (1 - t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{P}_t, \mathrm{Q}_t, \mathrm{R}_t$ とし，線分 $\mathrm{P}_t\mathrm{Q}_t, \mathrm{Q}_t\mathrm{R}_t$ を $t : (1 - t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{S}_t, \mathrm{T}_t$ とする。さらに，線分 $\mathrm{S}_t\mathrm{T}_t$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $\mathrm{U}_t$ とする。また，点 $\mathrm{A}$ を $\mathrm{U}_0$，点 $\mathrm{D}$ を $\mathrm{U}_1$ とする。

(1) 点 $\mathrm{U}_t$ の座標を求めよ。

(2) $t$ が $0 \leqq t \leqq 1$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線と，線分 $\mathrm{AD}$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

(3) $a$ を $0 < a < 1$ を満たす実数とする。$t$ が $0 \leqq t \leqq a$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線の長さを，$a$ の多項式の形で求めよ。