不等式 log x ≦ x − 1 と、n 倍した定積分の極限

(1) $x > 0$ のとき，不等式 $\log x \leqq x - 1$ を示せ。

(2) 次の極限を求めよ。

$$\lim_{n \to \infty} n \int_1^2 \log\left(\frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2}\right) dx$$