平行四辺形の4頂点をそれぞれの辺の上に持つ長方形の面積の最大値

平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ において，$\angle \mathrm{ABC} = \dfrac{\pi}{6}$，$\mathrm{AB} = a$，$\mathrm{BC} = b$，$a \leqq b$ とする。次の条件を満たす長方形 $\mathrm{EFGH}$ を考え，その面積を $S$ とする。

条件：点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ はそれぞれ辺 $\mathrm{EF}, \mathrm{FG}, \mathrm{GH}, \mathrm{HE}$ 上にある。

ただし，辺はその両端の点も含むものとする。

(1) $\angle \mathrm{BCG} = \theta$ とするとき，$S$ を $a, b, \theta$ を用いて表せ。

(2) $S$ のとりうる値の最大値を $a, b$ を用いて表せ。