2次式の値が平方数になる正の整数の個数と、4a + 1 が素数であることの同値

この問いでは，$0$ 以上の整数の $2$ 乗になる数を平方数と呼ぶ。$a$ を正の整数とし，$f_a(x) = x^2 + x - a$ とおく。

(1) $n$ を正の整数とする。$f_a(n)$ が平方数ならば，$n \leqq a$ であることを示せ。

(2) $f_a(n)$ が平方数となる正の整数 $n$ の個数を $N_a$ とおく。次の条件 (i), (ii) が同値であることを示せ。

(i) $N_a = 1$ である。

(ii) $4a + 1$ は素数である。