3次関数のグラフの3本の接線がなす角と、接線が囲む三角形の面積（加法定理の誘導つき）

$k$ を実数とし，座標平面上の曲線 $C$ を $y = x^3 - kx$ で定める。$C$ 上の $2$ 点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ に対する以下の条件 $(*)$ を考える。

条件 $(*)$：原点 $\mathrm{O}$，点 $\mathrm{P}$，点 $\mathrm{Q}$ は相異なり，$C$ の $\mathrm{O}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ における接線のうち，どの $2$ 本も交わり，そのなす角はすべて $\dfrac{\pi}{3}$ となる。

ただし，$2$ 直線のなす角は $0$ 以上 $\dfrac{\pi}{2}$ 以下の範囲で考えるものとする。

(1) $-\dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{6}$ とする。$\tan\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)$ を $\tan\theta$ を用いて表せ。

(2) 条件 $(*)$ を満たす $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ が存在するような $k$ の範囲を求めよ。

(3) $k$ が (2) で定まる範囲にあるとする。$\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ が条件 $(*)$ を満たすように動くとき，$C$ の $\mathrm{O}, \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ における接線によって囲まれる三角形の面積 $S$ の最大値を $M$，最小値を $m$ とおく。ただし，$3$ 本の接線が $1$ 点で交わるときは $S = 0$ とする。$M = 4m$ となる $k$ の値を求めよ。