3×n の格子点から選んだ3点が三角形をなす確率

$n$ を正の整数とする。座標平面上の $3n$ 個の点がなす集合

$$\{(x, y) \mid x,\ y \text{ は } 1 \leqq x \leqq 3,\ 1 \leqq y \leqq n \text{ を満たす整数}\}$$

から相異なる $3$ 点を選ぶ。ただし，どの $3$ 点も等確率で選ばれるものとする。選んだ $3$ 点が三角形の $3$ 頂点となる確率を $p_n$ とする。

(1) $p_5$ を求めよ。

(2) $m$ を $2$ 以上の整数とする。$p_{2m}$ を求めよ。